Matematik Projesi

LiDAR ile 3B Tarama

Mesafeden Nokta Bulutuna: Matematiksel Yolculuk

Öğrenci: Yiğit Efe Erdoğmuş

Sınıf: 11-A · No: 703

Not: Anlatılan matematik, TÜBİTAK projemde de kullanıldı

Bu sunum kendi başına okunabilir. İleri tuşu veya menü (☰) ile devam edin.

Giriş

Sunumda Neler Var?

Bu sunumda LiDAR sensörünün arkasındaki matematiği adım adım anlatıyorum: zaman–mesafe formülü, trigonometri ve üç boyutlu koordinat dönüşümü. En sonda bu matematiği TÜBİTAK projemde nasıl kullandığımdan kısaca bahsedeceğim. Arada formülü deneyebileceğiniz bir simülasyon ve kendi çektiğim bir LiDAR tarama videosu var.

Önemli nokta: LiDAR ortamı bir kamera gibi doğrudan çekmez, her bir noktayı trigonometri kullanarak tek tek hesaplar.

Bölüm 1

LiDAR Matematiği

LiDAR nasıl mesafe ölçer ve bu ölçüm neden fiziksel bir formüle dayanır?

Bölüm 1 · LiDAR Matematiği

LiDAR Nedir?

LiDAR, lazer darbeleri gönderip bunların geri dönüş süresini ölçerek hedefe olan uzaklığı hesaplayan bir sensör. Kendi etrafında dönerek her açıda bir mesafe değeri üretiyor. Yüzlerce ölçüm birleşince ortamın nokta bulutu dediğimiz üç boyutlu modeli ortaya çıkıyor.

Girdi: Lazer darbesi, geri dönüş süresi ve açı bilgisi
Çıktı: Her ölçüm için bir (x, y, z) koordinatı
Sonuç: Ortamın 3B dijital modeli

Önemli nokta: LiDAR bize doğrudan görsel vermez. Bize sadece sayılar verir ve 3B model bu sayıların matematiksel olarak işlenmesiyle oluşur.

Bölüm 1 · LiDAR Matematiği

Zaman ve Mesafe Formülü

İşin temelinde aslında lisede gördüğümüz sabit hızlı hareket formülü yatıyor. Lazerin hızı ışık hızıdır (yaklaşık 300.000 km/s). Sensör lazeri yollar, ışık yüzeye çarpıp geri döner ve sensör bu süreyi ölçer. Lazer hem gidip hem döndüğü için bulduğumuz mesafeyi ikiye bölmemiz gerekir.

d = (c · t) / 2 d: mesafe (m) · c: ışık hızı (≈ 3×10⁸ m/s) · t: gidiş-dönüş süresi (s)

Örneğin süre 200 nanosaniye ise mesafe yaklaşık 30 metredir. LiDAR saniyede binlerce kez bu hesabı tekrarlar.

Önemli nokta: Sistemin ilk adımı tamamen basit bir cebirsel mesafe hesabıdır. Trigonometri daha sonra devreye girer.

Bölüm 1 · LiDAR Matematiği

Etkileşimli Ekran: Lazer Simülatörü

Formülün nasıl çalıştığını kendi gözlerinizle görün. Aşağıdaki kaydırıcıyı kullanarak nesnenin sensöre olan mesafesini değiştirin ve lazerin gidiş dönüş süresinin (t) nasıl etkilendiğini inceleyin.

Mesafe (d): 30 m

d = (c · t) / 2

t (gidiş-dönüş): 200,0 ns

c = 3×10⁸ m/s · t = 2d/c

Önemli nokta: Mesafe uzadıkça sürenin nanosaniyeler bazında nasıl değiştiğini kavramak sistemin hızını anlamak için kritik.

Bölüm 2

2B Koordinat Dönüşümü

Mesafe ve açı nasıl (x, y) koordinatına dönüşür?

Bölüm 2 · 2B Dönüşüm

Kutupsal Koordinatlardan Kartezyen'e

2 boyutlu bir LiDAR sensörü her açıda bir mesafe ölçer. Matematikte buna kutupsal koordinat diyoruz (r, θ). Bunu bizim bildiğimiz düzlemdeki (x, y) koordinatlarına çevirmek için trigonometri kullanıyoruz. Yatay ekseni kosinüsle, dikey ekseni ise sinüsle buluyoruz. Aslında okuldaki birim çember mantığının birebir aynısı.

x = r · cos(θ) | y = r · sin(θ) r: ölçülen mesafe · θ: tarama açısı

Sensör 360 derece dönerken her açı için bu işlemi tekrarlar ve ortamın üstten görünümünü çıkarır.

Önemli nokta: Gördüğümüz o kusursuz LiDAR haritaları aslında binlerce cos ve sin hesabından ibarettir.

Bölüm 2 · 2B Dönüşüm

Sayısal Bir Örnek

Olayı biraz daha somutlaştıralım. Diyelim ki sensör 45 derece açıda tam 10 metrelik bir engel tespit etti. cos(45°) ve sin(45°) yaklaşık 0,707 değerine eşittir. Bu değerleri formülde yerine koyduğumuzda x ve y koordinatlarını 7,07 metre olarak buluruz.

x = 10 · cos(45°) ≈ 7,07 m | y = 10 · sin(45°) ≈ 7,07 m

Yani bu nokta, sensörün 7 metre sağında ve 7 metre ilerisinde bulunuyor. Yazılım bunu saniyede binlerce kez yaparak haritayı oluşturuyor.

Önemli nokta: Açılardaki çok ufak bir sapma, mesafe uzadıkça metrelerce ölçüm hatasına neden olabilir. Bu yüzden matematiksel hassasiyet çok önemlidir.

Bölüm 3

3B Tarama ve Nokta Bulutu

İki boyuttan üç boyuta geçiş süreci. Küresel koordinatlar ve hacimsel modellemenin temelleri.

Bölüm 3 · 3B Tarama

3B Koordinat Dönüşümü

Gerçek dünyada düz bir koridorda değiliz. İşin içine yükseklik de giriyor. 3B LiDAR sistemlerinde ölçüm yaparken mesafe ve yatay açının yanına bir de dikey açı eklenir. Bu sefer küresel koordinatları 3 boyutlu kartezyen (x, y, z) sistemine dönüştürmemiz gerekir. Bu da lise trigonometrisinin bir adım ötesidir.

x = r · cos(φ) · cos(θ)
y = r · cos(φ) · sin(θ)
z = r · sin(φ) r: mesafe · θ: yatay açı · φ: dikey açı

Önemli nokta: 3 boyutlu tarama, 2 boyutlu trigonometrik hesapların Z eksenine yani dikey düzleme genişletilmesinden ibarettir.

Bölüm 3 · 3B Tarama

Nokta Bulutu ve 3B Mesafe Analizi

Sensör etrafı taradığında ortaya çıkan (x, y, z) koordinat yığınına nokta bulutu diyoruz. İki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için Pisagor teoreminin 3 boyutlu versiyonunu kullanıyoruz — örneğin koridor genişliği veya iki yüzey arası uzaklık böyle hesaplanır.

|AB| = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] 3B Öklid mesafesi

Önemli nokta: 3B harita, binlerce nokta arasındaki geometrik ilişkilerin matematikle kurulmasıdır.

Bölüm 3 · 3B Tarama

Hacimsel Tarama

Bir alanın üç boyutlu olarak taranması, binlerce nokta koordinatının toplanması demektir. Matematiksel olarak taranan hacim, tarama yolu ile kesit alanının çarpımıyla ilişkilidir: hacim ≈ yol × kesit alanı. Sensör hareket ettikçe her konumdan yeni (x, y, z) noktaları eklenir ve ortam yavaş yavaş sayısallaştırılır.

Önemli nokta: 3B tarama, aynı formüllerin farklı konumlarda tekrar tekrar uygulanmasıyla oluşur.

Bölüm 4

TÜBİTAK Projem

Bu matematiği gerçek bir projede nerede kullandım?

Bölüm 4 · TÜBİTAK

TÜBİTAK Projemde LiDAR Matematiği

TÜBİTAK kapsamında hazırladığım projede de aynı LiDAR matematiğini kullandım. Sensörün ürettiği mesafe ve açı verilerini üç boyutlu koordinatlara dönüştürerek ortamın dijital haritasını çıkardım. Yani bu sunumda gördüğünüz d = (c·t)/2 formülü ve trigonometrik dönüşümler kağıt üzerinde kalmadı — gerçek bir taramada işe yaradı.

Zaman–mesafe formülü → her lazer ölçümünden mesafe
2B ve 3B dönüşüm → kutupsal veriden (x, y, z) koordinatı
Öklid mesafesi → nokta bulutunda geometrik hesaplar

Aşağıdaki videoda atölyede yaptığım taramayı göreceksiniz; TÜBİTAK projemdeki tarama da bu matematikle çalışıyor.

Önemli nokta: Bu bir matematik sunumudur — TÜBİTAK projesi, formüllerin pratikte kullanıldığı örnektir.

Bölüm 5

Sonuç ve Tarama Videosu

Tüm bu denklemlerin sonunda ortaya çıkan pratik sonuç ve canlı tarama kaydımız.

Bölüm 5 · Sonuç

Projede Kullanılan Matematiğin Özeti

Tüm sunumu toparlarsak, sıfırdan bir 3B harita oluşturmak için lisede gördüğümüz şu temel konuları kullandık:

1. Cebir

d = (c·t)/2 ile mesafe hesabı

2. Trigonometri (2B)

x = r·cos(θ) ile kartezyen dönüşümü

3. Trigonometri (3B)

Küresel koordinatların uzaya aktarılması

4. Geometri

Noktalar arası Öklid mesafesi

5. Küme Teorisi

Elde edilen noktaların bulut modeline çevrilmesi

Önemli nokta: Lisede gördüğümüz temel formüller, LiDAR ile 3B harita üretmenin tamamını oluşturur.

Bölüm 5 · Sonuç

Gerçek Tarama Videosu

Aşağıda atölye koridorunda LiDAR ile yaptığım üç boyutlu taramanın videosu var. Sensörün ortamı nasıl saniyeler içinde nokta bulutuna çevirdiğini görebilirsiniz — yukarıda anlattığım zaman–mesafe formülü ve trigonometrik dönüşümlerin pratik çıktısı budur. TÜBİTAK projemde de aynı matematik kullanıldı.

Atölye koridoru LiDAR 3B tarama — Yiğit Efe Erdoğmuş

Önemli nokta: Sayıların ve trigonometrinin görsel bir fiziksel modele dönüştüğü anı videoda net bir şekilde görebilirsiniz.

Sonuç

LiDAR, lazer fiziği ve trigonometriyle çevreyi sayılara dönüştürür. Bu sunumda gördüğünüz formüller gerçek taramalarda kullanılıyor — videodaki örnek ve TÜBİTAK projem aynı matematiğe dayanıyor.

Özet

Mesafe: d = (c·t)/2
2B/3B dönüşüm: trigonometri
Sonuç: nokta bulutu ve 3B harita

Teşekkür

Matematik öğretmenim Sonnur Tekin Arı'ya bu fırsat için teşekkür ederim.

Yiğit Efe Erdoğmuş

11-A · Okul No: 703